Question

平面内有n(n∈N*)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n条直线把平面分成f(n)=个部分.

Answer 1

证明：(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,而∴命题成立.

(2)假设当n=k时命题成立,即k条直线把平面分成个部分.

则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线不平行,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了k+1个平面部分.

∴f(k+1)=f(k)+k+1

∴当n=k+1时命题成立.

由(1)(2)可知当n∈N*时,命题成立.