题目内容
1．若（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7（1）求a0+a1+a2+…+a7
（2）求a1+a3+a5+a7的值；
（3）求a3的值．
分析 （1）令x=1，可得：a0+a1+a2+…+a7=2+22+…+27．
（2）令x=-1，可得：a0-a1+a2+…-a7=0．与（1）结合即可得出．
（3）a3为x3的系数，可得a3=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$，利用组合数的性质即可得出．
解答 解：（1）令x=1，可得：a0+a1+a2+…+a7=2+22+…+27=$\frac{2（{2}^{7}-1）}{2-1}$=28-2=254．
（2）令x=-1，可得：a0-a1+a2+…-a7=0．
由（1）可得：a0+a1+a2+…+a7=254．
∴2（a1+a3+a5+a7）=254，解得a1+a3+a5+a7=127．
（3）a3为x3的系数，
∴a3=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{5}^{4}$+${∁}_{5}^{3}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{7}^{4}+{∁}_{7}^{3}$=${∁}_{8}^{4}$=70．
点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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