Question

11．已知复数α满足（2-i）α=3-4i，β=m-i，m∈R．
（1）若|α+β|＜2|$\overline{α}$|，求实数m的取值范围；
（2）若α+β是关于x的方程x²-nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．

Answer 1

分析 （1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；
（2）根据韦达定理即可求出．

解答 解：（1）∵（2-i）α=3-4i，
∴a=$\frac{3-4i}{2-i}$=2-i，
∴α+β=2+m-2i，
∵|α+β|＜2|$\overline{α}$|，
∴（2+m）²+4＜4（4+1），
解得-6＜m＜2，
∴m的取值范围为（-6，2），
（2）α+β是关于x的方程x²-nx+13=0（n∈R）的一个根，
则2+m+2i也是方程的另一个根，
根据韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{（2+m-2i）（2+m+2i）=13}\\{（2+m-2i）+（2+m+2i）=n}\end{array}\right.$，
解的$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=-6}\end{array}\right.$

点评 本题考查了复数的运算以及方程的解的问题，以及复数模的计算，属于基础题．