Question

双曲线G的中心在原点O，并以抛物线的顶点为右焦点，以此抛物线的准线为右准线．

(1)求双曲线G的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋3与双曲线G相交于A、B两点，

①当k为何值时，原点O在以AB为直径的圆上？

②是否存在这样的实数k，使A、B两点关于直线y＝mx(m为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)抛物线的项点为(1分) 　　准线为(2分) 　　设双曲线G为则有，可得，a2＝3，b2＝9． 　　∴双曲线G的方程为．(4分) 　　(2)①由，得 　　又由(5分) 　　设 　　∵若原点O在AB为直径的圆上，有OA⊥OB，KOA·KOB＝－1，，即 　　(6分) 　　化简为 　　(7分)解得，． 　　故，当k＝±1时，原点O在AB为直径的圆上．(8分) 　　②设这样的实数k存在，则有 　　 　　由②③得，(12分) 　　即，推得km＝3，(13分) 　　这与km＝－1矛盾，所以适合条件的k不存在．(14分)