Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是y=±

1

2

x．过点P（-4，0）作斜率为

1

4

的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，点P在线段AB上，并且满足|PA|•|PB|=|PC|²，求双曲线G的方程．

Answer 1

分析：先根据渐近线方程设出双曲线的方程为x²-4y²=λ，再求出直线l的方程代入双曲线方程，得x₁+x₂，x₁x₂，最后将|PA|•|PB|=|PC|²等价为（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17，列方程求出λ即可

解答：解：设所求双曲线方程为（x+2y）（x-2y）=λ，即x²-4y²=λ  （λ≠0）
∵直线l点P（-4，0）作斜率为

1

4

，∴直线方程为y=

1

4

x+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（0，1），∴

PA

=（x₁+4，y₁），

PB

=（x₂+4，y₂）
联立直线方程与双曲线方程，

y= 1 4 x+1 x2-4y2=λ

，3x²-8x-16-4λ=0
得，x₁+x₂=

8

3

，x₁x₂=

-16-4λ

3

  ①
∵|PA|•|PB|=|PC|²，∴

PA

•

PB

=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+（

1

4

x₁+1）•（

1

4

x₂+1）=-17
即x₁x₂+4（x₁+x₂）=-32   ②
将①代入②解得λ=28
故双曲线方程为x²-4y²=28

点评：本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的标准方程，直线与双曲线的关系等知识，解题时要学会运用待定系数法求标准方程，学会运用韦达定理解决问题．