Question

已知 p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：结合f(x)=

1-x

3

，解绝对值不等式|f（a）|＜2，我们可以求出p为真时参数a的取值范围；根据集合交集的定义及一元二次方程根的分布与系数的关系，可以判断q为真时参数a的取值范围；进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p，q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：对p：所以|f (a)|=|

1-a

3

|＜2．
若命题p为真，则有-5＜a＜7；
对q：∵B={x|x＞0}且 A∩B=∅
∴若命题q为真，则方程g（x）=x²+（a+2）x+1=0无解或只有非正根．
∴△=（a+2）²-4＜0或

△≥0 g(0)≥0 - a+2 2 ＜0

，∴a＞-4．
∵p，q中有且只有一个为真命题
∴（1）p 真，q假：则有

-5＜a＜7 a≤-4

，即有-5＜a≤-4；
（2）p 假，q 真：则有

a≥7或a≤-5 a＞-4

，即有a≥7；
∴-5＜a≤-4或a≥7．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，一元二次方程根的分面与系数的关系，由于两个命题为真时，求参数a的取值范围，都要用到转化思想，故本题难度稍大．