Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：
（1）要证AC⊥BC₁，可通过证出AC⊥平面BCC₁实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C₁C，所以AC⊥平面BCC₁成立．
 （2）令BC₁交CB₁于点O，连接OD，可知O、D是△AC1B的中位线，得出OD，利用线面平行的判定定理证出AC₁∥平面CDB₁；
（3）过C点作CE⊥AB于E，连接C₁E，可以证出∠CEC₁（或其补角）即是C₁-AB-C的平面角，在△CEC₁中求解即可．
 解法二：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，以C为原点建立空间直角坐标系；利用向量的工具求解．
（1）通过=0，证明AC⊥BC₁；
 （2）求出平面CDB₁的一个法向量，，通过⊥来证明AC₁∥平面CDB₁；
 （3）分别求出平面ABC，平面CDB₁的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角C₁-AB-C的余弦值．
解答：解法一：（1）证明∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥C₁C，
又BC∩C₁C=C，∴AC⊥平面BCC₁，
又BC₁?平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．
（2）证明：如图，令BC₁交CB₁于点O，连接OD，
∵O、D分别是BC₁和AB的中点，
∴OD，又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁
（3）解：过C点作CE⊥AB于E，连接C₁E，
∵CC₁⊥AB，CE⊥AB，∴∠CEC₁（或其补角）即是C₁-AB-C的平面角，
在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，由AB•CE=AC•BC得CE=，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CE，∴△CEC₁是Rt△，
又∵CC₁=AA₁=4，CE=，∴C₁E=，
∴cos∠CEC₁=，即二面角C₁-AB-C的余弦值为．
解法二：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系；
（1）由题意有A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），
∴=（0，-4，4），∴=（-3，0，0）•（0，-4，4）=0，
∴⊥，即AC⊥BC₁．
（2）∵D（（0，4，4），
∴=（0，4，4），
令平面CDB₁的一个法向量为
∴，
∴=-3×4+0+1×4=0，∴⊥，
又AC?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）令平面ABC₁的一个法向量为，
∵=（-3，0，4），
∴由，
∴，1，1），
易知平面ABC的一个法向量为=（0，0，4），
∵，
∴，
所以二面角C₁-AB-C的余弦值即为．
点评：本题考查空间直线和直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．