题目内容
已知函数f(x)=2(sin2x+
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
成立的x的值．
| ||
| 2 |
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
| 3 |
分析：（1）由已知中函数的解析式，及和差角公式，我们可将函数的解析式化简为正弦型函数的形式，求出A及ω值后，易得函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）根据化简后的解析式，结合x∈[0，2π]，我们可求出使f(x)=
成立的x的值．
（2）根据化简后的解析式，结合x∈[0，2π]，我们可求出使f(x)=
| 3 |
解答：解：∵f(x)=2(sin2x+
)cosx-sin3x
=2(sin2x+
)cosx-sin(2x+x)
=2sin2xcosx+
cosx-sin2xcosx-cos2xsinx
=sin2xcosx-cos2xsinx+
cosx
=sinx+
cosx
=2sin（x+
）
（1）∵A=2，ω=1
∴ymax=2，ymin=2，T=2π
即函数f（x）的值域为[-2，2]和最小正周期为2π；
（2）若f(x)=
则sin（x+
）=
又∵x∈[0，2π]
∴x+
∈[
，
]
则x+
∈{
，
，
}
则x={0，
，2π}
使f(x)=
成立的x的值为0或
或2π
| ||
| 2 |
=2(sin2x+
| ||
| 2 |
=2sin2xcosx+
| 3 |
=sin2xcosx-cos2xsinx+
| 3 |
=sinx+
| 3 |
=2sin（x+
| π |
| 3 |
（1）∵A=2，ω=1
∴ymax=2，ymin=2，T=2π
即函数f（x）的值域为[-2，2]和最小正周期为2π；
（2）若f(x)=
| 3 |
则sin（x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
又∵x∈[0，2π]
∴x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
则x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
则x={0，
| π |
| 3 |
使f(x)=
| 3 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是和差角公式，三角函数的周期，值域，三角函数给值求角，其中（2）中易忽略x=2π也满足条件．
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