Question

已知函数.
（1）当时，证明：当时，；
（2）当时，证明：.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将当时，转化为，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为0，即得证；第二问，先将转化为且，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可.
(1)时，，
令，，∴在上为增函数                 3分
，∴当时，，得证．                         6分
(2)
令，，时，，时，
即在上为减函数，在上为增函数                                     9分
∴ ①
令，，
∴时，，时，即在上为减函数，在上为增函数
∴ ②
∴由①②得 ．                                    12分