Question

如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，
①2  ② ③ ④  ⑤
若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（ ）个．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据平面向量基本定理，可得到 =t+（1-t），由M在阴影区域内可得实数r≥1使得=r，从而 =rt+r（1-t），根据 rt+r（1-t）=r≥1，r（1-t）≥0，得出结论．
解答：解：设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，则存在实数t∈（0，1]使得 =t+（1-t），
且存在实数r≥1，使得=r，从而 =rt+r（1-t），且 rt+r（1-t）=r≥1．
又由于 0≤t≤1，故 r（1-t）≥0．
①中rt=2，r（1-t）=-1＜0，rt+r（1-t）=r=1，满足r≥1但不满足r（1-t）≥0，故①不满足条件．
②中rt=，r（1-t）=，rt+r（1-t）=r=，故②满足条件．
③中rt=，r（1-t）=，rt+r（1-t）=r=，不满足r≥1，故③不满足条件．
④中rt=，（1-t）=，rt+r（1-t）=r=，不满足r≥1，故④不满足条件．
⑤中rt=，r（1-t）=-，rt+r（1-t）=r=，不满足r≥1，故⑤不满足条件．
综上，只有①满足条件，
故选：A．
点评：本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，得到 =t+（1-t），是解题的关键．