Question

10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=4cosC．
（Ⅰ）求$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$的值；
（Ⅱ）若tanA=2tanB，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理和正弦定理化简已知的式子，即可求出式子的值；
（Ⅱ）利用商的关系化简tanA=2tanB，再根据余弦定理和正弦定理化简得到等式，联立（1）的结论求出a、b、c的关系，利用余弦定理求出cosA，再由内角的范围和平方关系求出sinA的值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式整理得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=4cosC，即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=2abcosC，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=2，
利用正弦定理化简得：$\frac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=2；
（Ⅱ）∵tanA=2tanB，
∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{2sinB}{cosB}$，则sinAcosB=2sinBcosA，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2b•$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化简得，3a²-3b²=c²，
联立a²+b²=2c²得，a${\;}^{2}=\frac{7}{5}{b}^{2}$、${c}^{2}=\frac{6}{5}{b}^{2}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{6}{5}{b}^{2}+{b}^{2}-\frac{7}{5}{b}^{2}}{2b•\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}b}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
由0＜A＜π得，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}=\frac{\sqrt{195}}{15}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理，以及平方关系，考查化简、计算的能力，注意内角的范围，属于中档题．