题目内容

已知复数z=cosα+isinα，求证：z3+
1z3
=2cos3α．
分析：直接把复数z代入要证明等式左边，按复数乘方运算，化简即可．
解答：证明：z3+
1
z3
=z3+z-3=(cosα+isinα)3+(cosα+isinα)-3
=cos3α+isin3α+cos（-3α）+isin（-3α）
=2cos3α
点评：本题考查复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．
练习册系列答案
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（2007•浦东新区二模）已知复数z=1+ai（a∈R），ω=cosα+isinα，α∈（0，2π），若z=
.
z
+2i，且| z-ω| = 
5
，求角α的值．
已知复数z=
cos2θ+isin2θ
cosθ-isinθ
是实数，则 sin3θ=（　　）
已知复数z=（a2-4sin2θ）+2（cosθ+1）i，其中a∈R+，θ∈（0，π），i为虚数单位，且z是方程x2+2x+2=0的一个根．
（1）求θ与a的值；
（2）若w=x+yi（x，y为实数），求满足|w-1|≤|
.
z
z+i
|的点（x，y）表示的图形的面积．
已知复数z=cosα+isinα，求证：z3+
1
z3
=2cos3α．

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