Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k的直线l经过点M（4，0），与椭圆C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞\frac{1}{2}$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得2c=2，a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），与椭圆联立，得（（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，能求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，
∴2c=2，a=2，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，消去y可得（（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴△＞0
由△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0解得${k^2}＜\frac{1}{4}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则${x_1}+{x_2}=\frac{{32{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$…（7分）
$\begin{array}{l}∵\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}\\={x_1}{x_2}+k（{x_1}-4）k（{x_2}-4）\\=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-4{k^2}（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}\\=（1+{k^2}）\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-4{k^2}\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+16{k^2}＞\frac{1}{2}\end{array}$
解得${k^2}＞\frac{27}{196}$∴$\frac{27}{196}＜{k^2}＜\frac{1}{4}$
∴k的取值范围是-$\frac{1}{2}＜k＜-\frac{3\sqrt{3}}{14}$或$\frac{3\sqrt{3}}{14}＜k＜\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．