Question

8．写出下面各递推公式表示的数列{a_n}的通项公式．
（1）a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）；
（2）a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用“累乘求积”与等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）由a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．利用“裂项求和”与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿ•a_n（n≥1）即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=2^n-1•2^n-2•…•2¹×1=2^{（n-1）+（n-2）+…+1}=${2}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=${2}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．
（2）∵a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）．
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
∴n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+1
=2-$\frac{1}{n}$，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．