Question

已知圆M：（x-1）²+y²=9，直线l：y=x-m
（1）当直线l与圆M相切时，求m的值．
（2）当直线l与圆M相交于P，Q两点，且，求直线l在y轴上的截距．
（3）当直线l与圆M相交于P，Q两点，若在x轴上存在一点R，恰好以PQ为直径的圆过R点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）圆M：（x-1）²+y²=9的圆心M（1，0），半径为r=3，x-y-m=0，由直线l与圆M相切，能求出m的值．
（2）设圆心M到直线l的距离为d，则，由点到直线的距离公式能求出直线l在y轴上的截距．
（3）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x，0），因为以PQ为直径的圆过R点，所以RP⊥RQ，得（x₁-x）（x₂-x）+y₁y₂=0，故2x₁x₂-（x₁+x₂）（x+m）+x²+m²=0，由，再利用韦达定理和根与系数的关系进行求解．
解答：解：（1）圆M：（x-1）²+y²=9的圆心M（1，0），半径为r=3
又y=x-m，∴x-y-m=0，
∵直线l与圆M相切，
∴，∴
（2）设圆心M到直线l的距离为d，则
∴，∴m=3，或m=-1，
所以直线l在y轴上的截距为-3或1
（3）设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），，R（x，0），
因为以PQ为直径的圆过R点∴RP⊥RQ，
得⇒（x₁-x）（x₂-x）+y₁y₂=0⇒（x₁-x）（x₂-x）+（x₁-m）（x₂-m）=0⇒2x₁x₂-（x₁+x₂）（x+m）+x²+m²=0（1）
由
所以，
△=4（m+1）²-8（m²-8）＞0⇒-3＜m＜5
将（2）代入（1）整理得x²-（m+1）x+m²-m-8=0
所以
适合-3＜m＜5，
所以
点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根与系数的关系的灵活运用．