Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

Answer 1

分析：（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．

解答：解：（I）由圆M：（x+1）²+y²=1，可知圆心M（-1，0）；圆N：（x-1）²+y²=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3-R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（去掉点（-2，0））
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x-2）²+y²=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=2

3

．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则

|QP|

|QM|

=

R

r1

，可得Q（-4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l于M相切可得：

|3k|

1+k2

=1，解得k=±

2

4

．
当k=

2

4

时，联立

y= 2 4 x+ 2 x2 4 + y2 3 =1

，得到7x²+8x-8=0．
∴x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

．
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+( 2 4 )2

(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

18

7

由于对称性可知：当k=-

2

4

时，也有|AB|=

18

7

．
综上可知：|AB|=2

3

或

18

7

．

点评：本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．