题目内容

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，点E在棱CD上，且 $数学公式$ ．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）在棱AA₁上是否存在点P，使DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）若二面角A-B₁E-A₁的余弦值为 $数学公式$ ，求棱AB的长．

（1）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵A₁B₁⊥面A₁D₁DA，

∴A₁B₁⊥AD₁．
在矩形A₁D₁DA中，∵AA₁=AD=2，
∴AD₁⊥A₁D．
又A₁D∩A₁B₁=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D₁为原点建立空间直角坐标系D₁-xyz．
依题意可知，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），D（0，0，2），A（2，0，2），
设AB的长为x，则C₁（0，x，0），B₁（2，x，0）， $\text{[math]}$ ．
假设在棱AA₁上存在点P，使得DP∥平面B₁AE．
设点P（2，0，y），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
易知 $\text{[math]}$ ．
设平面B₁AE的一个法向量为n=（a，b，c），
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
令b=3得， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵DP∥平面B₁AE，∴ $\text{[math]}$ 且DP?平面B₁AE．
得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴AP的长为 $\text{[math]}$ ．
（3）∵CD∥A₁B₁，且点E∈CD，
∴平面A₁B₁E、平面A₁B₁D与面A₁B₁CD是同一个平面．
由（1）可知，AD₁⊥面A₁B₁D，
∴ $\text{[math]}$ 是平面A₁B₁E的一个法向量．
由（2）可知，平面B₁AE的一个法向量为 $\text{[math]}$ ．
∵二面角A-B₁E-A₁的余弦值为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ ．
故AB的长为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用长方体和正方体的性质、线面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，若DP∥平面AB₁E，设 $\text{[math]}$ 为平面AB₁E的法向量? $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ?平面AB₁E，求出即可；
（3）利用（1）（2）的结论即可得到此二面角的两个面的法向量，进而利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值，解出即可．
点评：熟练掌握长方体和正方体的性质、线面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系的方法求出平面的法向量并利用法向量及其数量积即可求出线面角、二面角是解题的关键．