Question

不等式

-x2-4x

≤

4

3

x+1-a的解集是[-4，0]，则a的取值范围是（　　）

• A．（-∞，-5]
• B．[

  5

  3

  ，+∞）
• C．（-∞，-5）∪[

  5

  3

  ，+∞)
• D．（-∞，0）

Answer 1

分析：由题设知不等式

-x2-4x

≤

4

3

x+1-a的解集是[-4，0]，求a的取值范围，可将问题转化为函数f（x）=

-x2-4x

-

4

3

x-1+a≤0在[-4，0]恒成立，由此可以借助导数求出函数在[-4，0]上的最大值，令最大值小于等于0即可解出a的取值范围，选出正确选项

解答：解：由题意，可构造函数f（x）=

-x2-4x

-

4

3

x-1+a
∴f′（x）=

-2x-4

2 -x2-4x?

-

4

3

=

-x-2

-x2-4x?

-

4

3

令f′（x）＞0解得x＞-

3

5

或x＜-

18

5

，令f′（x）＜0解得-

18

5

＜x＜-

3

5

如下表

x	-4	(-4， 18 5 )	- 18 5	( - 18 5 ，- 3 5 )	- 3 5	( 3 5 ，0)	0
f’（x）		+	0	-	0	+
单调性		增		减		增
函数值	- 16 3 -1+a	↑	极大值5+a	↓	极小值	↑	-1+a

由表知，当函数的最大值是f（-

18

5

）=5+a
又不等式

-x2-4x

≤

4

3

x+1-a的解集是[-4，0]，即在[-4，0]，恒有f（x）=

-x2-4x

-

4

3

x-1+a≤0恒成立
故有5+a≤0恒成立，解得a≤-5
故选A

点评：本题考查利用函数恒成立证明不等式，将不等式证明的问题转化为函数恒成立问题解决是解本题的关键，也是求解本题的亮点，利用函数最大值小于等于0得出参数a所满足的不等式，是求解本题的手段，函数最值与恒成立问题结合是解决恒成立问题常用思路，题后应注意总结本题的解题脉络，本题考查了函数的思想，是函数最值的应用题