Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a

2n

=an-1an+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式

2n

-man+4m=0成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列
∵a₁=2，a₂=4
∴q=

a2

a1

=2
∴an=a1qn-1=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
 2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2-

8(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式an2-man+4m=0
∵an=2n
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴m=

22n

2n-4

=

22n-16+16

2n-4

=2n-4+

16

2n-4

+8≥16
当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号
∵2ⁿ＞4
∴

16

2n-4

∈N*
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有（16，3）