Question

8．已知函数f（x）=|x²-ax|-2，且函数f（x+2）是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）设函数y=g（x），集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}．
①证明：M⊆N；
②如果g（x）=f（|x|），集合P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}，那么集合P中的元素个数为2．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=|x²-ax|-2，且函数f（x+2）是偶函数．可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称，根据函数的对称性，可得实数a的值；
（2）①根据集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}，可得当x∈M时，x∈N，进而根据子集的定义，得到答案．
②根据g（x）=f（|x|），求解g（x）-x=0，且|x|≤2，可得集合P，进而得到答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x²-ax|-2，且函数f（x+2）是偶函数．
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
即f（x）=f（4-x），
即|x²-ax|-2=|（4-x）²-a（4-x）|-2恒成立，
解得：a=4；
（2）证明：①∵集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}．
当M=∅时，满足M⊆N；
当M≠∅时，若x∈M，即g（x）-x=0，即g（x）=x，
此时g（g（x））=g（x）=x，即g（g（x））-x=0，
即x∈N，
即N的元素都是M的元素，
故M⊆N；
②如果g（x）=f（|x|）=||x²-4x|-2|，
∴集合P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}={x|||x²-4x|-2|-x=0，且|x|≤2}，
∵|x|≤2，
∴-2≤x≤2，
当-2≤x＜0时，y=||x²-4x|-2|的图象在第二象限，与y=x的图象无交点，
当0≤x＜2-$\sqrt{2}$时，y=||x²-4x|-2|=x²-4x+2，解x²-4x+2=x得：x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，或x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$（舍去），
当2-$\sqrt{2}$≤x≤2时，y=||x²-4x|-2|=-x²+4x-2，解-x²+4x-2=x得：x=2，或x=1（舍去），
综上所述，P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}={$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，2]，
即集合P的元素个数为2，
故答案为：2．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的图象和性质，子集的定义，是函数与集合的综合应用，难度中档．