Question

19．已知函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）•cosωx（ω为常数，且ω∈（0，1）），且f（x）图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称．
（1）求最小正周期及f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，再将所得图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位（纵坐标保持不变）得到y=h（x）的图象，求函数y=h（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值并指出取最值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω=$\frac{1}{3}$，可得f（x）的解析式．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得h（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及取最值时x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）•cosωx=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
再根据f（x）图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称可得2ω×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=k+$\frac{1}{3}$，
再结合ω∈（0，1），可得ω=$\frac{1}{3}$，故f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 的图象．
再将所得图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位（纵坐标保持不变），
得到y=h（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 的图象，
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，函数h（x）取得最小值为0；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数h（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．