Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，E、F分别是AB、PD的中点．

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)若二面角PCDB为45°，求二面角E－PC－D的大小；

(3)在(2)的条件下，若AD＝2，CD＝3，求点F到平面PCE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：取PC中点G，连结EG、FG．∵E、F分别为AB、PD中点， 　　∴GFCD，AECD．∴AEGF．∴EG∥AF，∴AF∥平面PCE． 　　(2)解：由题意知∠PDA＝45°，∴PA＝AD．∵F是PD的中点，∴AF⊥PD． 　　又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD．∴AF⊥CD． 　　∵AF∥EG，∴EG⊥PD，EG⊥CD．∴EG⊥平面PCD． 　　∴平面PEC⊥平面PCD，即二面角EPCD为90°． 　　(3)解：过F作FH⊥PC，则FH⊥平面PEC，∴FH为所求的距离． 　　∵AD＝2，CD＝3，∴PD＝2，PC＝． 　　∴GF＝，PF＝，PG＝．∴FH＝