Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）若二面角P-CD-B为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点为M，连接EM、FM，易证AF∥EM，而EM?面PCE，AF?面PCE根据线面平行的判定定理可知AF∥平面PCE；
（2）先证明∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，∠PDA=45°，故△PAD为等腰Rt△，要证平面PCE⊥平面PCD，关键是找线面垂直，易证EM⊥面PCD，根据面面垂直的判定定理即可证得．

解答：（1）证明：如图，取PC的中点为M，连接EM、FM．由?FMAE?四边形AFME为平行四边形
FM

∥

.

1

2

CD
AE

∥

.

1

2

CD?AF∥面PCE．
?AF∥EM
EM?面PCE
AF?面PCE∴AF∥平面PCE
（2）证明：有

PA⊥面ABCD CD?面ABCD

?

PA⊥CD 又CD⊥AD

?

CD⊥平面PAD PD?面PAD

?CD⊥PD
则∠PDA为二面角P-CD-B的平面角．
∠PDA=45°，故△PAD为等腰Rt△．

由PA=AD PF=DF ?AF⊥PD CD⊥面PAD AF?面PAD  ?AF⊥CD

 ?

AF⊥PCD FM∥AF

?

EM⊥面PCD EM?PCE

?面PCE⊥面PCD

点评：本题主要考查了直线与平面平行，以及平面与平面垂直等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．