Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E，F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角F-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．
（Ⅱ）根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．
（Ⅲ）取AD的中点M，连接FM，EM，MC，根据条件可得∠FEM为二面角F-EC-D的平面角，在求出三角形的边长即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD的中点M，连接FM，EM，MC，
因为F是PD的中点；
∴FM∥PA；
∴FM⊥平面ABCD；⇒EC⊥FM①
在三角形EMC中，
因为MC=

MD 2+DC 2

=3；ME=

AM2+AE 2

=

3

；EC=

BE 2+BC 2

=

6

；
∴MC²=ME²+EC²；
∴EM⊥EC  ②；
∴由①②得EC⊥平面FME，
∴EC⊥FE，
即∠FEM为二面角F-EC-D的平面角，
而tan∠FEM=

FM

EM

=

1 2 PA

EM

=

1

3

=

3

3

；
∴∠FEM=30°．
故二面角F-EC-D为30°．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理．考查对立体几何中基本定理的掌握程度和灵活运用能力．