Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积．

Answer 1

分析：（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．
（2）根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．
（3）先由（2）可得知EG为四面体PEFC的高，进而求出S_△PCF，根据棱锥的体积公式可得到答案．

解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
 
（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为四面体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，
S_△PCF=

1

2

PD•GF=2．
得四面体PEFC的体积V=

1

3

S_△PCF•EG=

2 2

3

．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理．考查对立体几何中基本定理的掌握程度和灵活运用能力．