Question

（2012•浦东新区二模）在证明恒等式12+22+32+…+n2=

1

6

n(n+1)(2n+1)(n∈N*)时，可利用组合数表示n²，即n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)推得．类似地，在推导恒等式13+23+33+…+n3=[

n(n+1)

2

]2(n∈N*)时，也可以利用组合数表示n³推得．则n³=

6

C

3 n+1

+

C

1 n

．

Answer 1

分析：由n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)，即 n2=2

×1C

2 n+1

-

C

1 n

，类比可得n³=3×2×1×

C

3 n+1

+

C

1 n

=6×

C

3 n+1

+

C

1 n

，由此得到答案．

解答：解：由于 n2=2

C

2 n+1

-

C

1 n

(n∈N*)，即 n2=2

×1C

2 n+1

-

C

1 n

，
类比可得n³=3×2×1×

C

3 n+1

+

C

1 n

=6×

C

3 n+1

+

C

1 n

，
故答案为 6×

C

3 n+1

+

C

1 n

．

点评：本题主要考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），属于基础题．