Question

设函数.
（1）用反证法证明：函数不可能为偶函数；
（2）求证：函数在上单调递减的充要条件是.

Answer 1

(1)祥见解析；(2) 祥见解析．

试题分析：(1)反证法证明的一般步骤是：先假设结论不正确，从而肯定结论的反面一定成立，在此基础上结合题目已知条件，经过正确的推理论证得到一个矛盾，从而得到假设不成立，所以结论正确；此题只需假设假设函数是偶函数，既然是偶函数，则对定义域内的一切x都有成立，那么我们为了说明假设不成立，即 不可能成立，只需任取一个特殊值代入检验即可；(2)由于是证明函数在上单调递减的充要条件是：；应分充分性和必要性两个方面来加以证明，先证充分性：来证明一定成立；再证必要性：由函数在上单调递减在上恒成立，来证明即可，注意已知中的这一条件．
试题解析：(1)假设函数是偶函数，                                         2分
则，即，解得，                            4分
这与矛盾，所以函数不可能是偶函数.                               6分
(2)因为，所以.                                 8分
①充分性：当时，，
所以函数在单调递减；                                       10分
②必要性：当函数在单调递减时，
有，即，又，所以.                      13分
综合①②知，原命题成立.                                                  14分
（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）