Question

对于定义域为的函数，若同时满足：
①在内单调递增或单调递减；
②存在区间[]，使在上的值域为；
那么把函数（）叫做闭函数．
(1) 求闭函数符合条件②的区间；
(2) 若是闭函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）或或 ，（2）.

试题分析：（1）新定义的问题，首先按新定义进行等价转化. 由题意，在[]上递增，则解得或或,（2）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[],可证明函数在定义域内单调递增，因此∴ ∴ 为方程的两个实数根. 即方程有两个不相等的实根. 或解得，综上所述，
试题解析：[解析]（1）由题意，在[]上递增，则，
解得或或   
所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1] .     6分（解得一个区间得2分）
（2）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，
函数的值域为[]                        6分
容易证明函数在定义域内单调递增，
∴                          8分
∴ 为方程的两个实数根.             10分
即方程有两个不相等的实根.
或               14分
解得，综上所述，                  16分