Question

如图，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=

1

2

AE．
（I）设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若α∈[

π

6

，

π

4

]，求k的取值范围；
（Ⅱ）在（I）和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系（如图），表示出点的坐标，确定平面ABE的一个法向量，利用CE与平面ABE所成的角，且α∈[

π

6

，

π

4

]，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值为

2

，则当k=

2

时，求出平面BDE法向量

n

=(-

3

，-1，

2

)，平面ABC法向量为

m

=（0，0，1），利用夹角公式，即可求得平面BDE与平面ABC所成角大小．

解答：解：（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则设A（0，1，0），D(0，0，

k

2

)，E（0，1，k），B(

3

2

，

1

2

，0)．
取AB的中点M，则M(

3

4

，

3

4

，0)，则平面ABE的一个法向量为

CM

=(

3

4

，

3

4

，0)，
由题意sinα=

CE • CM

|CE| •| CM |

=

3 4

1+k2 • 3 16 + 9 16

=

3

2 1+k2

．
由α∈[

π

6

，

π

4

]，则

1

2

≤sinα=

3

2 1+k2

≤

2

2

，
得

2

2

≤k≤

2

．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k最大值为

2

，则当k=

2

时，设平面BDE法向量为

n

=（x，y，z），则

n • DE =y+ 2 2 z=0 n • BE = 3 2 x+ y 2 + 2 2 z=0

取

n

=(-

3

，-1，

2

)，又平面ABC法向量为

m

=（0，0，1），…10分
所以cos＜

n

，

m

＞=

2

2+3+1

=

3

3

，
所以平面BDE与平面ABC所成角大小arccos

3

3

．…12分．

点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是建立空间直角坐标系，正确运用向量的数量积公式，属于中档题．