Question

设f（x）=log₂x的反函数为f^-1（x），且f^-1（a）+f^-1（b）=4，则a+b的最大值是

 

．

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等相关知识．
根据y=log₂x可得f^-1（x）的解析式，由此代入f^-1（a）+f^-1（b）=4可得a、b的关系式，根据基本不等式

a+b

2

≥

ab

可得a+b的最大值．

解答：解：由y=log₂x解得：x=2^y
∴函数f（x）=log₂x的反函数为f^-1（x）=2^x，x∈R
由f^-1（a）+f^-1（b）=4得：2^a+2^b=4
∵2^a+2^b=4≥2

2a2b

=2

2a+b

∴a+b≤2
即a+b的最大值是2
答案：2

点评：本题虽然小巧，但用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了反函数、指数式和对数式的互化、由基本不等式

a+b

2

≥

ab

求最值等三个方面的知识，是这些内容的有机融合，是极富考查力的小题；
解题中注意在获取2^a+2^b=4后，如何找到与a+b的联系是关键，2^a•2^b=2^a+b这一信息很重要．