Question

求下列抛物线的方程

         （1）顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点（3，a）到焦点的距离是5；

         （2）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为。

                  

Answer 1

解：（1）

        

         由（2）得

         解得

        

         （2）设所求的抛物线方程为

解析:

（1）由题设抛物线焦点在y轴上，但开口方向并不明确，仍有两种情况：

         其焦点分别为：，准线方程分别为由抛物线定义得到，再由点（3，a）在抛物线上得到p,a的另一方程，消去a求得P .

         (2）由于焦点在x轴上，但不明确抛物线的开口方向，故而可设抛物线方程：通过题设条件，求得m值，便于确定方程。

本题给出求抛物线方程的常用方法，主要是当题设只给出焦点所在的轴，而不明确开口方向时作为待定系数法的第一步：“假设方程”时的两类不同设。