Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF₁F₂的周长为6，记点P的轨迹为C₁．抛物线C₂以F₂为焦点，顶点为坐标原点O．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若过F₂的直线l与抛物线C₂交于A，B两点，问在C₁上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用△PF₁F₂的周长为6，结合椭圆的定义，可求C₁的方程；利用抛物线C₂以F₂为焦点，顶点为坐标原点O，可得C₂的方程；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA，MF₂，MB的斜率依次成等差数列，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意可知，△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|，由于|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4，
由于|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|，故点P的轨迹为C₁为以F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故，
故C₁的方程为：；C₂的方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），设直线AB的方程为：x=my+1，，…（6分）
故，
故，…（8分）
由，y²-4my-4=0，
故y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，…（10分）
故m（x+1）（x-my-1）=0，…（11分）
因为直线AB不经过点M，故x-my-1≠0，故m=0或x+1=0，…（12分）
当m=0时，C₁上除点外，均符合题意；…（13分）
当m≠0时，则当x=-1时，椭圆上存在两点和都符合条件．…（14分）
点评：本题考查椭圆、抛物线的定义，考查椭圆的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．