Question

已知F₁（-1，0），F₂（1，0），A（

1

2

，0），动点P满足3

PF1

•

PA

+

PF2

•

PA

=0．
（1）求动点P的轨迹方程．
（2）是否存在点P，使PA成为∠F₁PF₂的平分线？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设点P（x，y）可得到向量

PF1

，

PF2

，

PA

的表达式，然后根据3

PF1

•

PA

+

PF2

•

PA

=0可得答案．
（2）先假设存在这样的点，根据∠F₁PA=∠APF₂可得到cos∠F₁PA=cos∠APF₂，再由向量表示出即可求出不满足条件，得到答案．

解答：解：（1）设P（x，y），则

PF1

=（-1-x，-y），

PF2

=（1-x，-y），

PA

=（

1

2

-x，-y）．
∴

PF1

•

PA

=（-1-x）（

1

2

-x）+（-y）²=（x+1）（x-

1

2

）²+y²，

PF2

•

PA

=（1-x）•（

1

2

-x）+（-y）²=（x-1）（x-

1

2

）+y²．
∴3[（x+1）（x-

1

2

）+y²]+（x-1）（x-

1

2

）+y²=0．
∴x²+y²=

1

4

即为P点的轨迹方程．
（2）设存在，则cos∠F₁PA=cos∠APF₂．
∴

PF1 • PA

| PF1 |•| PA |

=

PF2 • PA

| PF2 |•| PA |

．
将条件3

PF1

•

PA

=-

PF2

•

PA

代入上式不成立．∴不存在．

点评：本题主要考查根据向量的运算求轨迹方程的有关问题．属基础题．