题目内容
已知f(x)=2x3-ax2,g1(x)=f(x),当n≥2且n∈N*时，gn(x)=f［gn-1(x)］.(1)若f(1)=1且对任意n∈N*,都有gn（x0）=x0,求所有x0组成的集合；
（2）若f(1)＞3，是否存在区间A,对n∈N*,当且仅当x∈A时，就有gn(x)＜0?如果存在，求出这样的区间A;如果不存在，说明理由.
解析：（1）由f(1)=1
1=2-a
a=1.
∴f(x)=2x3-x2.当n=1时，g1(x0)
=f(x0)=2x03-x02=x0
x0(2x02-x0-1)=0,
∴x0=0或x0=1或x0=
.由题设,g2(x0)=f［g1(x0)］=f(x0)=x0,假设gk(x0)=x0,当n=k+1时，gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=x0,
∴gn(x0)=x0对n=k+1时也成立.
∴当x0满足g1(x0)=x0时，就有gn(x0)=x0.
∴所有x0组成的集合为{0,1,
}.
(2)若f(1)=2-a＞
a＜-1.令g1(x)=f(x)=2x3-ax2＜0,得x2(2x-a)＜0
x＜
,对于n≥2,gn(x)＜0
f［gn-1(x)］＜0
gn-1(x)＜
.
∴若对n∈N*有gn(x)＜0,必须且只需g1(x)＜0.∴A=(-∞,
).
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