题目内容

设向量
OM
=(-
3
，1)，向量
ON
=(cosα，-sinα)(0＜α＜n)
（1）若向量
OM
⊥
ON
，求tanα的值；
（2）求|
MN
|的最大值及此时α的值．
分析：（1）利用向量
OM
⊥
ON
，推出
OM
•
ON
=0，得到 关于cosα，sinα的关系式，然后求tanα的值；
（2）表示出|
MN
|，化为一个角的一个三角函数的形式，根据0＜α＜π，求|
MN
|的最大值及此时α的值．
解答：解：（1）由于 向量
OM
⊥
ON
，
∴
OM
•
ON
=0，
则-
3
cosα-sinα=0，（3分）
显然cosα≠0，两边同时除以cosα得，tanα=-
3
；（6分）
（2）由于|
MN
|=
(cosα+
3
)2+(-sinα-1)2
，（8分）
即|
MN
|=
5+4sin(α+
π
3
)
由于0＜α＜π，则
π
3
＜α+
π
3
＜
4π
3
（11分）
则α+
π
3
=
π
2
，即α=
π
6
时，|
MN
|最大值为3．
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，考查学生运算能力，三角函数的值域，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-
3
)和F2(0，
3
)为焦点、离心率为
3
2
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）|
OM
|的最小值．
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下顶点为S，T点E在椭圆上且异于S，T两点，直线SE与TE的斜率之积为-4O为坐标原点
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆以F1（0，-
3
）和F2（0，
3
）为焦点，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且向量
OM
=
OA
+
OB
求：点M的轨迹方程及|OM|的最小值．
（2012•昌平区一模）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(-
3
，0)，离心率为
3
2
．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
求：
（I）椭圆C的方程；
（II）|
OM
|的最小值及此时直线l的方程．
（2012•上海）定义向量
OM
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+
π
2
）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．

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