题目内容
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的上、下顶点为S，T点E在椭圆上且异于S，T两点，直线SE与TE的斜率之积为-4O为坐标原点
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆以F1（0，-
）和F2（0，
）为焦点，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且向量
=
+
求：点M的轨迹方程及|OM|的最小值．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆以F1（0，-
| 3 |
| 3 |
| OM |
| OA |
| OB |
分析：（1）利用直线SE与TE的斜率之积为-4，建立方程，结合E在椭圆上，即可求得离心率；
（2）利用相关点法求轨迹方程，|OM|用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．
（2）利用相关点法求轨迹方程，|OM|用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．
解答：解：（1）设E（x0，y0），由S（0，a），T（0，-a），直线SE与TE的斜率之积为-4，可得
•
=-4
∴y02-a2=-4x02
∵
+
=1，∴-
•x02=-4x02
∵x0≠0，∴
=4，∴e2=
，∴e=
；
（2）由（1）c=
，a=2，∴b=1，∴曲线C的方程为：x2+
=1（x＞0，y＞0），即y=2
（0＜x＜1）
∴y′=-
设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2
∴切线AB的方程为：y=-
（x-x0）+y0．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=
，y=
∵
=
+
，∴得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：
+
=1（x＞1，y＞2）
∵|
|2=x2+y2，y2=4+
，∴|
|2=x2-1+
+5≥4+5=9．
当且仅当x2-1=
，即x=
＞1时，上式取等号．
∴|OM|的最小值为3．
| y0-a |
| x0 |
| y0+a |
| x0 |
∴y02-a2=-4x02
∵
| y02 |
| a2 |
| x02 |
| b2 |
| a2 |
| b2 |
∵x0≠0，∴
| a2 |
| b2 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
（2）由（1）c=
| 3 |
| y2 |
| 4 |
| 1-x2 |
∴y′=-
| 2x | ||
|
设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2
| 1-x02 |
∴切线AB的方程为：y=-
| 4x0 |
| y0 |
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=
| 1 |
| x0 |
| 4 |
| y0 |
∵
| OM |
| OA |
| OB |
| 1 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
∵|
| OM |
| 4 |
| x2-1 |
| OM |
| 4 |
| x2-1 |
当且仅当x2-1=
| 4 |
| x2-1 |
| 3 |
∴|OM|的最小值为3．
点评：本题考查椭圆的离心率，考查轨迹方程的求解，考查基本不等式的运用，表示出|OM|是关键．
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