Question

甲、乙、丙三人独立地解同一道数学题，甲能解决这道题的概率是P₁，乙能解决这道题的概率是P₂，丙能解决这道题的概率是P₃，解决下列问题：

(1)求没有人能解出这道题的概率；

(2)求至少有一个人能解出这道题的概率；

(3)求有人没解出这道题的概率；

(4)求恰有一人能解出这道题的概率．

Answer 1

答案：
解析：

解析：设甲、乙、丙能解出这道题的事件分别为A1、A2、A3，则A1、A2、A3是相互独立事件，但不是互斥事件． 　　(1)没有人能解出这道题的事件A＝123， 　　∵1、2、3相互独立， 　　∴P(A)＝P(123)＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)． 　　(2)至少有一人能解出这道题的事件为B，但不能运用互斥事件的和的概率公式，注意到B与A＝123是对立事件， 　　∴P(B)＝1－P(123)＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)． 　　(3)有人没解出这道题的事件为C，如果直接表达C比较复杂，由于C与事件“A1A2A3”是对立事件， 　　∴P(C)＝1－P(123)＝1－P1P2P3． 　　(4)恰有一人能解出这道题的事件D＝A123＋A213＋A321． 　　∵A123，A231与A312彼此互斥， 　　∴P(D)＝P(123)＋P(231)＋P(312)＝ 　　P1(1－P2)(1－P3)＋P2(1－P3)(1－P1)＋P3(1－P1)(1－P2)．