Question

甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为

2

3

，乙能攻克的概率为

3

4

，丙能攻克的概率为

4

5

．
（1）求这一技术难题被攻克的概率；
（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得

a

2

万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得

a

3

万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）利用相互独立事件的概率求不能被攻克的概率，然后利用对立事件的概率求解；
（2）分别求出随机变量X取为0，

a

3

，

a

2

，a的概率，列出分布列，然后直接代入期望公式求期望．

解答：解：（1）P=1-(1-

2

3

)(1-

3

4

)(1-

4

5

)=1-

1

3

×

1

4

×

1

5

=

59

60

；    
（2）X的可能取值分别为0，

a

3

，

a

2

，a
P(X=0)=

1

3

，P(X=

a

3

)=

2

3

×

3

4

×

4

5

=

2

5

，
P(X=

a

2

)=

2

3

×

3

4

×

1

5

+

2

3

×

1

4

×

4

5

=

7

30

，P(x=a)=

2

3

×

1

4

×

1

5

=

1

30

，
∴X的分布列为

X	0	a 3	a 2	a
P	1 3	2 5	7 30	1 30

EX=0×

1

3

+

a

3

×

2

5

+

a

2

×

7

30

+a×

1

30

=

17a

60

 （万元）．

点评：本题考查了离散型随机变量的分布列及期望，考查了相互独立事件的概率公式，解答的关键是正确求出随机变量在不同取值时的概率，是中档题．