Question

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1） 求点Q的坐标；

（2） 当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B） 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

Answer 1

解：（1） 解方程   y=x            得  x₁=－4,    x₂=8

                      y=x²－4      y₁=－2,    y₂=4

   即A（－4,－2）,B（8,4）, 从而AB的中点为M（2,1）.

   由k_AB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=（x－2）.

   令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）

  （2） 直线OQ的方程为x+y=0, 设P（x, x²－4）.

   ∵点P到直线OQ的距离d==,

   ,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.  ∵函数y=x²+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,

  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.