Question

如图,直线y=x与抛物线y=x²-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q.

(1)求点Q的坐标;

(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时,求△OPQ面积的最大值.

Answer 1

解：(1)解方程组y=得或即A(-4,-2),B(8,4).

从而AB的中点为M(2,1).

由k_AB=,得直线AB的垂直平分线方程为y-1=(x-2).

令y=-5,得x=5.

∴Q(5,-5).

(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x²-4).

∵点P到直线OQ的距离

d==|x²+8x-32|,|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|d=|x²+8x-32|.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,

∴-4≤x＜4-4或4-4＜x≤8.

∵函数y=x²+8x-32在区间［-4,8］上单调递增,

∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值×96=30.