Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，O为坐标原点．
（I ）求椭圆C的方程；
（II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且丄，证明：点O到直线MN的距离为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
解答：（I）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，
∴，
∴
∴椭圆C的方程为；
（II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±，则点O到直线MN的距离为；
②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，则x₁+x₂=-，x₁x₂=
令△＞0，解得m²＜4k²+3，
∵丄，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•-km•+m²=0，
∴＜4k²+3
∴点O到直线MN的距离为=，
由①②可得点O到直线MN的距离为定值．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查点到直线的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．