Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

试题（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点；

（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：恒成立，恒成立；

（3）证明不等式，注意应用前几问的结论.

试题解析：（1）函数的定义域为，

所以，又切线与直线垂直，

所以切线斜率为，从而，解得 ,

（2）若，则则在上是增函数

而不成立，故

若，则当时，；

当时，

所以在上是增函数，在上是减函数,

所以的最大值为

要使恒成立，只需，解得

（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，

且在上是增函数，

所以在上恒成立 .

令，则

令则有

以上各式两边分别相加，

得

即

故