Question

【题目】已知函数定义域为，设.

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）求证：；

（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

（1）∵，

由或，由，

∴在，上递增，在上递减，

又∵在上为单调函数，则；

（2）∵在，上递增，在上递减，∴在处取得极小值，

又∵，而在上的最小值为，

从而当时，，即；

（3）∵，∴，即为，

令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，

∵，，

∴①当或时，∴在上有解，且只有一解，

②当时，且，又∵，

∴在上有解，且有两解，

③当时，或，∴在上有且只有一解，

当时，或，

∴在上也只有一解，

综上所述，对任意的，总存在，满足，

且当或时，有唯一的符合题意.