Question

已知：命题p：方程

x2

m

+

y2

3-m

=1表示椭圆；命题q：抛物线y=x2+2mx+

9

4

与x轴无公共点，若p∨q为真命题，且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由表示椭圆的条件可得m的范围，由抛物线的知识可得m的范围，由复合命题可得p真，q假，再由集合的补集交集可得答案．

解答：解：∵方程

x2

m

+

y2

3-m

=1表示椭圆，
∴

m＞0 3-m＞0 m≠3-m

，解得0＜m＜3，且m≠

3

2

；
∵抛物线y=x2+2mx+

9

4

与x轴无公共点，
∴△=(2m)2-4×1×

9

4

＜0，解得-

3

2

＜m＜

3

2

，
由p∨q为真命题，且q为假命题，可得p真，q假，
又{m|0＜m＜3，且m≠

3

2

}∩{m|m≤-

3

2

，或m≥

3

2

}={m|

3

2

＜m＜3}
故实数m的取值范围为：{m|

3

2

＜m＜3}

点评：本题考查椭圆与抛物线的性质，涉及复合命题的真假的应用，属中档题．