Question

已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量，且．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；
（Ⅱ）利用余弦定理可得16=a²+c²-ac，利用基本不等式可得ac的最大值，从而可得△ABC的面积的最大值；
解答：解：（Ⅰ），
因为，所以=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，
所以2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+60°）=0，
又△ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；
（Ⅱ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accos60°，即16=a²+c²-ac，
则16=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号，
所以△ABC的面积，
所以△ABC的面积的最大值是4．
点评：本题考查平面向量数量积的运算、两角和与差的正弦函数，考查基本不等式求函数最值．