Question

已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，定义向量

m

=(2sinB，-

3

)，

n

=(cos2B，2cos2

B

2

-1)且

m

∥

n

．
（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间；
（2）如果b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过

m

∥

n

求出tan2B=-

3

，解出B的值，然后利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间，求出函数的单调递增区间；
（2）如果b=2，利用余弦定理得到ac的范围，然后确定△ABC的面积的最大值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，∴2sinB(2cos2

B

2

-1)=-

3

cos2B．∵sin2B=-

3

cos2B，即tan2B=-

3

又∵B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

.f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB=sin(2x-

π

3

)．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)．得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

 (k∈Z)．∴函数的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

 ]. (k∈Z)
（2）∵B=

π

3

，b=2，由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得到：ac+4=a²+c²≥2ac，∴ac≤4，S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，（当且仅当a=c=2时等号成立）．
即△ABC面积的最大值为

3

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的单调性，三角函数的恒等变换以及化简求值，余弦定理，函数最值的应用，考查计算能力．