Question

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设圆所过短轴端点为N，由|NF₁|=a，∠PNF₁=，，可判断F₂（c，0）是以PF₁为直径的圆的圆心，根据圆和直线相切可得，据此解得c值，从而得到a，b；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，写出直线BC的方程，令y=0可得点Q的横坐标，代入韦达定理即可求得其值，从而得到点Q的坐标；
解答：解：（Ⅰ）设以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∠PNF₁=，∵，∴a=2c，
∴，|F₁P|=2a．
∴F₂（c，0）是以PF₁为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线相切，
∴，
∴，
∴椭圆M的方程为：．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），联立方程组，
化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0得．
则．
直线BC的方程为：，
令y=0，则，
∴Q点坐标为．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生对问题的分析解决能力，韦达定理、判别式是常用内容，要牢固掌握．