Question

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，则|NF₁|=a，由可得a=2c，由此可得，再由|PF₁|的长可判断F₂为圆的圆心，根据圆与直线相切，可解得c值，从而可求得a，b；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），易知点B（x₁，-y₁），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²范围，由点斜式写出直线BC的方程，令y=0，由韦达定理可得Q点横坐标，利用向量数量积运算及韦达定理可把表示为k的函数，由k²的范围即可求得的范围；
解答：解：（Ⅰ）设以|PF₁|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF₁|=a，∵，∴a=2c，
∴，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线相切，
∴，解得，
∴椭圆M的方程为：．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则点B（x₁，-y₁），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组，消掉y，化简整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得．
则．
直线BC的方程为：，
令y=0，则．
∴Q点坐标为．

=
=
=．
∵，
∴．
点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查函数思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度较大，对能力要求较高．