Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上，数列{b_n}对任意的n≥2的正整数均满足2b_n=b_n+1+b_n-1，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22
（I）求r的值和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知得出，求出{等比数列的定义得出r并确定{a_n}的通项公式
（II）数列{b_n}是等差数列，且b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，求出b₁=2，b₅=6，数列{b_n}的公差为d=1．b_n=2+（n-1）=n+1．
（III），应用错位相消法进行求和．
解答：解：（I）因为对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
所以得，
当n=1时，a₁=s₁=2+r，
当n≥2时，
又因为{a_n}为等比数列，
所以r=-1，公比为2，
所以…..（5分）
（II）∵数列{b_n}对任意的n≥2的正整数均满足2b_n=b_n+1+b_n-1，
∴数列{b_n}是等差数列
由于a₁=1，a₅=16，b₁+a₁=3，b₅+a₅=22，则b₁=2，b₅=6
∴数列{b_n}的公差为，
∴b_n=2+（n-1）=n+1…（7分）    
（III）因为
则T_n=
=
相减，得=
=-
=-
所以T_n=-=…（12分）
点评：本题考查利用数列中a_n与S_n关系求数列通项，等差数列、等比数列的判定，错位相消法数列求和．需具有转化、变形、计算能力．