Question

【题目】已知函数.

（1）当时,求的单调递增区间；

（2）证明：当时，有两个零点；

（3）若，函数在处取得最小值，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明；

【解析】

(1)对函数f(x)求导，解即可得到函数的单调增区间；(2)根据函数单调性和函数的极值以及图像的趋势即可得到证明；(3)对函数g(x)求导，求出单调性，由单调性得到函数取最小值时的x值即，代入f(x)即可得到证明.

（1）解：.

当时，由，得或.

故的单调递增区间为.

（2）证明：函数f(x)定义域为，时，，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

则.

且当），

所以有两个零点.

（3）证明：，.

设，因为，所以在上为增函数.

又，.

所以.当时，；当时，.

所以函数在处取得最小值且，

.

因为，所以.